Μονόχορδο

Μελέτη της σχέσης που υπάρχει ανάμεσα στα
μαθηματικά και τη μουσική.
Τα μαθηματικά και η μουσική είναι δυο επιστήμες που έχουν πολύ μεγάλη σχέση μεταξύ τους. Από την αρχαιότητα ακόμη οι δύο τέχνες αλληλεπιδρούν μεταξύ τους και η αλληλεπίδραση αυτή φτάνει ως τις μέρες μας.
Η ιδέα της σύνδεσης των μαθηματικών και της μουσικής γεννήθηκε πριν από 26 ολόκληρους αιώνες στην αρχαία Ελλάδα από τον Πυθαγόρα, μαθηματικό και ιδρυτή της πυθαγόρειας σχολής σκέψης. Ο φιλόσοφος γνώριζε πολύ καλά τη σχέση της μουσικής με τους αριθμούς. Οι ειδικοί ερευνητές θεωρούν ότι το πιθανότερο είναι πως ο ίδιος και οι μαθητές του εντρύφησαν στη σχέση της μουσικής και των αριθμών μελετώντας το αρχαίο όργανο μονόχορδο.
Όπως φαίνεται από το όνομά του, το μονόχορδο ήταν ένα όργανο με μία χορδή και ένα κινητό καβαλάρη που διαιρούσε τη χορδή επιτρέποντας μόνο ένα τμήμα της να ταλαντώνεται. Από αρκετούς μελετητές τοποθετείται στην οικογένεια του λαούτου δηλαδή με βραχίονα, χέρι. Το μονόχορδο χρησιμοποιήθηκε για τον καθορισμό των μαθηματικών σχέσεων των μουσικών ήχων. Ονομάζονταν και "Πυθαγόρειος κανών" γιατί απέδιδαν την εφεύρεσή του στον Πυθαγόρα. Πολλοί μεγάλοι μαθηματικοί εργάσθηκαν για τον υπολογισμό των μουσικών διαστημάτων πάνω στον κανόνα, όπως ο Αρχύτας (εργάσθηκε στις αναλογίες των διαστημάτων του τετραχόρδου στα τρία γένη, διατονικό, χρωματικό και εναρμόνιο και ανακάλυψε το λόγο της μεγάλης τρίτης στο εναρμόνιο γένος), ο Ερατοσθένης ο Δίδυμος (σ΄ αυτόν αποδίδεται ο καθορισμός του "κόμματος του Διδύμου", που είναι η διαφορά μεταξύ του μείζονος τόνου (9/8) και του ελάσσονος (10/9) δηλαδή 81/80).
Πιο συγκεκριμένα η κατασκευή του μονόχορδου επάνω στο οποίο εργάζονταν οι Πυθαγόρειοι με σύγχρονα και απλά μέσα θα μας προσφέρει τη δυνατότητα να ερευνήσουμε τη σχέση του μήκους της χορδής (ενός έγχορδου) με τον ήχο τον οποίο αυτή παράγει.

Ορισμός Μεταβλητών:

Η μουσική κλίμακα του Πυθαγόρα κατασκευάζεται με βάση τις αναλογίες του κύβου, ο οποίος εκφράζεται με τον αριθμό 4 της 5ης
τετρακτύος (1 = τετράεδρο, 2 = οκτάεδρο, 3 = εικοσάεδρο, 4 = κύβος)
και συμβολίζει τη γη και το συνδυασμό των στοιχείων της. Ο κύβος έχει
6 έδρες, 8 κορυφές και 12 ακμές. Οι αριθμοί 12 και 6 δίνουν την αναλογία 2/1, οι 8 και 6 την αναλογία 4/3 ενώ οι 12 και 8 την αναλογία
3/2. Επίσης ο αριθμός 8 είναι το αρμονικό μέσο των 6 και 12, ενώ το
αριθμητικό μέσο των αριθμών αυτών είναι ο 9. Ο αρμονικός και
αριθμητικός μέσος δίνουν την αναλογία 9/8. Έτσι προκύπτουν οι
μαθηματικές αναλογίες βάση των οποίων κατασκευάζεται η μουσική
κλίμακα κατά τους Πυθαγόρειους. Οι αναλογίες αυτές αποδείχθηκαν και
στην πράξη από τα πειράματα που έκανε ο Πυθαγόρας πάνω στο
μονόχορδο το οποίο διαίρεσε σε 12 ίσα τμήματα (όσες και οι ακμές του
κύβου).
Με τη χορδή «ανοιχτή» δηλαδή σε θέση να μπορεί να ταλαντώνεται όλο
το μήκος της (λόγος 1, συχνότητα 1), έκρουσε και άκουσε ένα μουσικό
τόνο. Στη συνέχεια περιόρισε το μέρος της χορδής που ταλαντώνεται στο
μισό της μήκος, και βρήκε ότι ο ήχος που ακούστηκε είναι η διαπασών,
αυτό που σήμερα ονομάζουμε οκτάβα. Το ύψος λοιπόν του ήχου
επηρεάζεται από το μήκος της χορδής και μάλιστα όταν η αναλογία του
μήκους είναι 1/2 (συχνότητα 2/1) έχουμε το διάστημα της οκτάβας. Έτσι
ορίστηκαν τα άκρα της μουσικής κλίμακας, η υπάτη και η νήτη. Στη
συνέχεια μετακινώντας τον καβαλάρη σε διάφορα σημεία, βρήκε ότι αν
ταλαντωνόταν τα 3/4 της χορδής (συχνότητα 4/3) προέκυπτε ο τέταρτος
φθόγγος από τους οκτώ μιας μουσικής κλίμακας, η μέση, ενώ αν
ταλαντωνόταν τα 2/3 της χορδής (συχνότητα 3/2) προέκυπτε ο πέμπτος
φθόγγος, η παράμεση. Οι υπόλοιποι φθόγγοι της κλίμακας
κατασκευάζονται χρησιμοποιώντας το λόγο 9/8 ως εξής:
- Ο δεύτερος φθόγγος προκύπτει από τον λόγο του πρώτου (υπάτη) αν
τον πολλαπλασιάσουμε με 9/8: 1 x 9/8 = 9/8 δηλαδή για την παραγωγή
του θα ταλαντώνονται τα 8/9 της χορδής.
- Ο τρίτος φθόγγος προκύπτει από τον λόγο του δεύτερου (9/8) αν και
πάλι πολλαπλασιαστεί με 9/8: 9/8 x 9/8 = 81/64 δηλαδή θα
ταλαντώνονται τα 64/81 της χορδής.
- Ο έκτος φθόγγος προκύπτει από τον λόγο του πέμπτου (παράμεση) που
πολλαπλασιάζεται με 9/8: 1:2/3 x 9/8 = 27/16 δηλαδή θα ταλαντώνονται
τα 16/27 της χορδής.
- Τέλος, ο έβδομος φθόγγος προκύπτει από τον λόγο του έκτου και πάλι
πολλαπλασιαζόμενου με 9/8: 1:16/27 x 9/8 = 243/128 δηλαδή για την
παραγωγή του θα ταλαντώνονται τα 128/243 της χορδή.