Η αναπαραγωγή των κουνελιών
Το πρόβληµα που ενέπνευσε τους µεταγενέστερους µαθηµατικούς είναι το
πρόβληµα που γέννησε την περίφηµη ακολουθία Fibonacci. Στο τρίτο µέρος
του Liber Abaci, βιβλίο του Fibonacci, εµφανίζεταιτο εξής πρόβληµα:
"Κάποιος τοποθέτησε σε έναν αποκλεισµένο τόπο ένα ζευγάρι κουνελιών. Τα
κουνέλια αυτά αναπαράγονται µε το συγκεκριµένο ρυθµό: ένα νέο ζευγάρι τον
µήνα και κάθε νέο ζευγάρι γίνεται γόνιµο δύο µήνες µετά κι αναπαράγεται µε
τον ίδιο ρυθµό. Πόσα ζευγάρια κουνελιών έχουν παραχθεί σε έναν χρόνο από
το αρχικό ζεύγος;"
Λαµβάνοντας υπόψη το παραπάνω πείραµα, παρατηρήσαµε πως στο
τέλος του πρώτου µήνα το ζευγάρι κουνελιών εξακολουθεί να είναι 1. Στο
τέλος του δεύτερου µήνα, το θηλυκό έχει γεννήσει 1 ζευγάρι. Εποµένως, τα
ζευγάρια είναι 2. Στο τέλος του τρίτου µήνα, το ζευγάρι που γέννησε το
θηλυκό έχει µόλις ενηλικιωθεί. Το αρχικό ζευγάρι όµως, έχει ζευγαρώσει και
γεννιέται άλλο ένα ζευγάρι. Άρα, ο αριθµός τους γίνεται 3. Στο τέλος του
τέταρτου µήνα, τα πρώτο και το δεύτερο ζευγάρι γεννούν από ένα ζευγάρι
κουνελιών το καθένα, ενώ το τρίτο µόλις ενηλικιώθηκε. Εν τέλει, ο αριθµός
των ζευγαριών είναι 5…κ.ο.κ. Το αποτέλεσµα είναι η ακολουθία Fibonacci που όπως έχουμε ήδη δείξει ο λόγος δυο διαδοχικών όρων της τείνει στον αριθμό φ..
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,34,55,89, 144, 233, 377, 610 ,987, 1597, 2584,4181,
6765, 10946 ...


Οι µέλισσες
Αν µετρήσουµε τις µέλισσες σε οποιαδήποτε κυψέλη, θα παρατηρήσουµε
ότι η αναλογία των εργατριών µελισσών προς τους κηφήνες καταλήγει πάντα
στο χρυσό αριθµό.
Μία άλλη εφαρµογή της Χρυσής Αναλογίας στη ζωή των µελισσών είναι
ότι καθορίζει το γενεαλογικό δέντρο κάθε κηφήνα σε ένα µελίσσι. Εφόσον
κάθε κηφήνας γεννιέται από ένα µη γονιµοποιηµένο αυγό της βασίλισσας το
γενεαλογικό του δέντρο έχει ως εξής: έχει 1 µητέρα, 2 παππούδες (αρσενικό
και θηλυκό), 3 προπαππούδες (δύο από την οικογένεια της γιαγιάς και µία του
παππού), 5 προ-προπαππούδες, 8 προ-προ-προπαππούδες κ.ο.κ. Το
γενεαλογικό δέντρο του κηφήνα είναι µια ακολουθία Fibonacci που
σχετίζεται µε τη Χρυσή Τοµή,

6θτρτ7θυδιδυτιτδοικυ8οθθοοοοοοοοοοοοοοοοοοοοοοοοοοοοοο.png

Τα φυτά
Ο τρόπος µε τον οποίο αναπτύσσονται τα κλαδιά ενός δέντρου
Ακολουθεί τα στάδια όπως φαίνονται στην Εικόνα 2.
97ιφ8τ9φ89τι.png

Εικόνα 2 : Τρόπος ανάπτυξης των κλαδιών ενός δέντρου
Ο χρόνος ανάπτυξης που απαιτεί κάθε στάδιο είναι 1 έτος. Στο τέλος του
πρώτου έτους υπάρχει µόνο ο κορµός. Στο τέλος του δεύτερου έτους,
αναπτύσσεται άλλο ένα κλαδί, άρα ο αριθµός τους γίνεται 2. Στο τέλος του
τρίτου έτους, αναπτύσσεται ακόµα ένα κλαδί από τον κεντρικό κορµό, (σύνολο
3). Στο τέλος του τέταρτου έτους, από το κλαδί που αναπτύχθηκε πρώτο,
εµφανίζεται ακόµα ένα. Επιπλέον, παρατηρούµε πως αναπτύσσεται κι άλλο
ένα κλαδί από τον κεντρικό κορµό (σύνολο 5). Τι µας θυµίζουν οι αριθµοί των
κλαδιών του κάθε χρόνου; Να λοιπόν πως εµφανίζεται και πάλι η ακολουθία Fibonacci.
Το ίδιο ισχύει και για τον τρόπο ανάπτυξης τόσο των φύλλων των
λουλουδιών (Εικόνα 3) όσο επίσης και των κλαδιών τους (Εικόνα 4)
7οφ679ιουθοοοοοοοοφ9ορ6δ9υιχδ.png
Εικόνα 3 : Η ανάπτυξη των κλαδιών ενός λουλουδιού
77 οοοοοο79οτχ9  ο7οψτ79ιορδ68ψφτ79ω.png
Εικόνα 4 : Η ανάπτυξη των φύλλων ενός λουλουδιού.

Τα ζώα


Το δελφίνι
Οι διαστάσεις του ραχιαίου πτερύγιου είναι χρυσά τµήµατα (κίτρινο και
πράσινο). Το πάχος του τµήµατος της ουράς του δελφινιού αντιστοιχεί στην
ίδια χρυσή τοµή της γραµµής από το κεφάλι µέχρι την ουρά

Η τίγρης
Τα χαρακτηριστικά του προσώπου µιας τίγρης δηµιουργούν ευθύγραµµα
τµήµατα που συµπίπτουν µε τη αναλογία του Fibonacci.

Το µυρµήγκι
Επίσης το σώµα ενός µυρµηγκιού χωρίζεται κι αυτό σε ευθύγραµµα
τµήµατα σύµφωνα µε την αναλογία φ.

Ο ΑΡΙΘΜΟΣ φ ΣΤΟ ΑΝΘΡΩΠΙΝΟ ΣΩΜΑ
Υπάρχουν πολλές εφαρµογές της Χρυσής Αναλογίας στο ανθρώπινο
σώµα. Σχεδόν όλα τα µέρη του σώµατός µας είναι κατασκευασµένα σύµφωνα
µε αυτήν. Από το κεφάλι µέχρι και τις πατούσες εµφανίζεται ο αριθµός φ.

Το πρόσωπο
Το ανθρώπινο πρόσωπο παρουσιάζει πολλές χρυσές αναλογίες . Το
κεφάλι αποτελεί ένα χρυσό ορθογώνιο µε την ευθεία που ορίζουν τα µάτια να
το χωρίζει στη µέση. Το στόµα και η µύτη
είναι το καθένα τοποθετηµένο στη χρυσή τοµή του ευθύγραµµου τµήµατος
που ορίζεται ανάµεσα στα µάτια και στην άκρη του πιγουνιού. Εκτός όµως από τα χρυσά ευθύγραµµα τµήµατα που δηµιουργούνται, εµφανίζονται και πολλά χρυσά
ορθογώνια. Επιπλέον, παρατηρώντας το ανθρώπινο αυτί, θα δούµε πως η
σπείρα που δηµιουργείται µας θυµίζει την χρυσή σπείρα.
Τέλος, αναφορικά µε τις διαστάσεις των δοντιών, παρατηρείται ότι τα δύο
µπροστινά δόντια είναι εγγεγραµµένα σε ένα χρυσό ορθογώνιο, µε µία χρυσή
αναλογία του ύψους προς το πλάτος τους. Επιπλέον, η αναλογία του πλάτους από το πρώτο δόντι προς το πλάτος του δευτέρου είναι επίσης χρυσή. Τέλος, αν χαµογελάσουµε, θα παρατηρήσουµε πως το πλάτος του χαµόγελου προς το πλάτος που υπάρχει µέχρι το τρίτο δόντι, είναι ίση µε φ.

Το σώµα
Το ύψος ενός ανθρώπου προς την απόσταση από το κεφάλι µέχρι και την
άκρη του µεσαίου δαχτύλου του,αποτελεί ένα χρυσό ευθύγραµµο τµήµα .
Η απόσταση από το κεφάλι µέχρι και την άκρη του µεσαίου δαχτύλου
προς την απόσταση από το κεφάλι µέχρι και τους αγκώνες, αποτελεί ένα
χρυσό ευθύγραµµο τµήµα. Η απόσταση από το κεφάλι µέχρι και τους
αγκώνες προς την απόσταση από το κεφάλι µέχρι και τους ώµους, αποτελεί
επίσης ένα χρυσό ευθύγραµµο τµήµα. Η απόσταση από το κεφάλι µέχρι και
τους ώµους προς την απόσταση από την κορυφή του κεφαλιού µέχρι την
άκρη του πιγουνιού, αποτελεί εξίσου ένα χρυσό ευθύγραµµο τµήµα.