Ο χρυσός αριθμός φ , ανιχνεύθηκε για πρώτη φορά από τους αρχαίους Έλληνες οι οποίοι παρατήρησαν ότι όλα πάνω στην γη, από τα φυτά μέχρι το ίδιο το ανθρώπινο σώμα, αναπτύσσονται βάσει μίας συγκεκριμένης αναλογίας.



Ο Πυθαγόρας ήταν ο πρώτος που διατύπωσε τον μαθηματικό ορισμό αυτής της αναλογίας χρησιμοποιώντας δύο ευθύγραμμα τμήματα. Η σκέψη του ήταν πως αν υπάρχει ένα ευθύγραμμο τμήμα και ένα σημείο τομής να το τέμνει έτσι ώστε το μήκος του μεγαλύτερου τμήματος προς όλο το μήκος του τμήματος να είναι ίσο με το μήκος του μεγαλύτερου τμήματος προς το μήκος του μικρότερου, τότε ο λόγος τους φανερώνει κάποιου είδους αναλογία.
Υπέθεσε λοιπόν ότι υπάρχει ένα τμήμα ΑΓ. Τέμνοντάς το σε δύο μέρη τα οποία δεν είναι ίσα μεταξύ τους στο σημείο Β, δημιουργούνται δύο ευθύγραμμα τμήματα ΑΒ και ΒΓ έτσι ώστε

image002.gif




Το σημείο τομής Β δίνει αυτό που οι αρχαίοι Έλληνες ονόμασαν Χρυσή Τομή.
.jpg

Η χρυσή τομή λοιπόν ορίζεται ως το πηλίκο των δυο θετικών αριθμών α και β όταν ισχύει
klasma.gif.
Αν θέσουμε klasma2.gifπαίρνουμε την εξίσωση EXISWSI.gif
που έχει την θετική ρίζα .gif
Ο λόγος αυτός ισούται περίπου με Φ=1.61803398874989484820458683436563811772030917980576286213544862270526046281890 ... είναι ένας άπειρος δεκαδικός αριθμός με μη επαναλαμβανόμενα δεκαδικά ψηφία, δηλαδή είναι άρρητος. Θεωρείται ότι δίνει αρμονικές αναλογίες και συμβολίζεται με το γράμμα προς τιμήν του Φειδία(5ος αιώνας π.Χ.), του γνωστότερου ίσως γλύπτη της ελληνικής αρχαιότητας, και του σημαντικότερου της κλασικής περιόδου.
Οι αρχαίοι Έλληνες θεωρούσαν τον αριθμό Φ πως ήταν ένας πολύ σημαντικός αριθμός. Η αναλογία 1.618:1 ήταν απαραίτητη για ένα αντικείμενο ώστε αυτό να φαίνεται όμορφο. Ο όρος "Χρυσή Τομή" καθιερώθηκε το 1835, επειδή θεωρήθηκε ότι με την τομή αυτή έχομε το κριτήριο του ωραίου στις τέχνες. Κατά τον 15ο αιώνα ο Λούκα Πατσιόλι χρησιμοποιεί ευρύτατα την τομή αυτή στα συγγράμματα του για τα κανονικά στερεά σώματα και την ονομάζει "Θεϊκήν Αναλογία"
Μια σημαντική ιδιότητα του αριθμού Φ είναι η ακόλουθη:
Από την παραπάνω εξίσωση προκύπτει .pngσύμφωνα με την οποία μπορούμε να εκφράσουμε το ως άπειρο διαδοχικό κλάσμα:
.png
Επίσης αν πάρουμε τον λόγο δυο διαδοχικών όρων της ακολουθίας Fibonacci θα
παρατηρήσουμε πως όσο μεγαλώνουν οι όροι αυτός ο λόγος τείνει στον αριθμό Φ.
Γεωμετρική κατασκευή
1. Κατασκευάζουμε τετράγωνο πλευράς 1 (κόκκινο).
2. Φέρουμε ευθεία παράλληλη προς τη μια βάση και χωρίζουμε το τετράγωνο σε δύο ίσα ορθογώνια (πλευρών 1 και 1/2) και φέρνουμε μία διαγώνιο (γκρι).
3. Κατασκευάζουμε κύκλο με κέντρο το μέσο της μίας πλευράς του τετραγώνου και ακτίνα τη διαγώνιο του ορθογωνίου.
4. Προεκτείνουμε την πλευρά του τετραγώνου στην οποία έχουμε ορίσει το κέντρο του κύκλου εώς το σημείο του κύκλου που τελειώνει η διάμετρος
Το ευθύγραμμο τμήμα που αποτελείται από την πλευρά του τετραγώνου μαζί με την προέκταση έχει μήκος φ.
.png





Χρυσό τρίγωνο
Χρυσό λέγεται κάθε ισοσκελές τρίγωνο στο οποίο ο λόγος
της μεγάλης πλευράς προς τη μικρή θα είναι ίσος με φ.
Κάθε ισοσκελές με γωνία κορυφής 36μοίρες είναι χρυσό.
Μπορούμε να το αποδείξουμε φέρνοντας τη διχοτόμο
μιας από τις παρά τη βάση γωνίες – στο σχήμα της Β –
τα τρίγωνα ABΓ και ABΔ είναι όμοια, οπότε AΓ = φAB
Η διχοτόμος της γωνίας Β =72μοίρες δημιουργεί στην απέναντι πλευρά χρυσή τομή
.gif
Χρυσό ορθογώνιο
Το χρυσό ορθογώνιο έχει λόγο των πλευρών του ίσο με φ. α/β = φ .
Αν του αποκόψουμε ένα τετράγωνο με πλευρά β, το ορθογώνιο με
πλευρές β, γ που θα απομείνει θα είναι και πάλι χρυσό,
θα είναι δηλαδή β/γ = φ και αυτό θα συνεχίζεται επ’ άπειρον.

.png