ΤΟ ΑΠΕΙΡΟ ΞΕΝΟΔΟΧΕΙΟ ΤΟΥ ΧΙΛΜΠΕΡΤ – ΤΑ ΠΑΡΑΞΕΝΑ ΤΟΥ ΑΠΕΙΡΟΥ

Ο Χίλμπερτ είναι ιδιοκτήτης ενός μοναδικού ξενοδοχείου με έναν μόνον όροφο και άπειρα δωμάτια. Αρχικά το ξενοδοχείο του είναι άδειο. Μια μέρα παρουσιάζονται δύο άνθρωποι Α1 και Α2 που ζητούν διαφορετικά δωμάτια. Ο Χίλμπερτ τους δίνει τα δυο πρώτα δωμάτια Δ1 και Δ2, ενώ παρατηρεί ότι συνεχίζει να έχει άπειρα κενά δωμάτια.

Την άλλη μέρα φτάνει στο ξενοδοχείο ένα σύνολο άπειρων φιλοσόφων {Ν1, Ν2, Ν3,…) που ζητά επίσης ξεχωριστά δωμάτια. Ο Χίλμπερτ τους παραχωρεί από τα τρίτο δωμάτιο κι έπειτα δωμάτια του ξενοδοχείου του, δηλαδή τα δωμάτια Δ3, Δ4, Δ5,….. Με αυτό τον τρόπο ο Νκ φιλόσοφος παίρνει το δωμάτιο Δκ+2 και όλοι έχουν τελικά δωμάτια και είναι ευχαριστημένοι.

Την επόμενη μέρα παρουσιάζεται ένα μοναχικός ξένος Ξ , που ζητά και αυτός δωμάτιο. Ο Χίλμπερτ μετακινεί τότε τους πελάτες του κατά ένα δωμάτιο, έτσι ώστε ο καθένας τους να έχει τώρα το επόμενο στη σειρά δωμάτιο από αυτό που είχε προηγουμένως, αφήνοντας έτσι το πρώτο δωμάτιο κενό, το οποίο και δίνει στον ξένο Ξ.

Την επόμενη μέρα φτάνει μια μικρή ομάδα 1000 προσκόπων. Ο Χίλμπερτ μετακινεί τότε όλους τους πελάτες κατά 1000 δωμάτια, αφήνοντας έτσι κενά τα 1000 πρώτα δωμάτια για τους προσκόπους.

Την επόμενη μέρα φτάνουν όλοι οι άπειροι οδηγοί αυτού του παράξενου σύμπαντος του Χίλμπερτ. Ο Χίλμπερτ σκέφτεται για λίγο τι να κάνει με τόσο πολύ κόσμο, πού να τους βάλλει, αλλά γρήγορα βρίσκει τη λύση: Βάζει όλους τους προηγούμενους πελάτες του στα ζυγά δωμάτια αφήνοντας έτσι κενά τα μονά, τα οποία και δίνει στους οδηγούς. Το ξενοδοχείο του είναι για μια ακόμη φορά πλήρες.

Την επόμενη μέρα φτάνει μια ομάδα άπειρων ερευνητών του παράξενου σύμπαντος του Χίλμπερτ για ένα συνέδριο. Ο Χίλμπερτ τα χάνει για λίγο. Πού να βάλει τόσο κόσμο στο «γεμάτο» ξενοδοχείο του; Μετακινεί πάλι όλους τους πελάτες του σε δωμάτια που έχουν νούμερο πολλαπλάσιο του 5 και δίνει τα κενά δωμάτια που δημιουργούνται με αυτό τον τρόπο στους ερευνητές.

Τις επόμενες μέρες συνεχίζουν να έρχονται γκρουπ απείρων πελατών, αλλά ο Χίλμπερτ δεν έχει κανένα πρόβλημα! Κατορθώνει να τους διευθετήσει τελικά όλους! Για κανέναν δεν κλείνει την πόρτα του, όλους τους χωράει!

Την επόμενη μέρα όμως ο Χίλμπερτ τα βρίσκει πολύ σκούρα: καταφτάνει μια ομάδα αναρχικών που καταλαμβάνει το συνεχές διάστημα (0,1) και όσο και να προσπαθεί με διάφορες ανακατατάξεις των πελατών του να δημιουργήσει νέες κενές θέσεις, ποτέ αυτές δεν είναι αρκετές για να χωρέσουν τους αναρχικούς. Τελικά τους διώχνει και τους λέει να έρθουν μεθαύριο που θα φύγουν όλοι οι πελάτες του και το ξενοδοχείο θα είναι άδειο.

Πράγματι όλοι οι πελάτες του ξενοδοχείου φεύγουν πρωί-πρωί τη μεθεπόμενη μέρα και το μεσημέρι καταφτάνουν τα άπειρα πλήθη των αναρχικών. Στην αρχή ο Χίλμπερτ τους λέει να πάρουν μόνοι τους δωμάτια, ο καθένας το επόμενο δωμάτιο από τον προηγούμενο απ’ αυτόν. Δεν καταφέρνει όμως τίποτα: Το ξενοδοχείο γεμίζει και παρόλα αυτά παραμένουν άπειροι αναρχικοί χωρίς δωμάτιο! Κάνει τα πάντα δοκιμάζοντας για ώρες όλα τα άπειρα τεχνάσματα που γνωρίζει. Άδικος ο κόπος, οι αναρχικοί δεν χωρούν με τίποτα στο άπειρο ξενοδοχείο του!

Ο Χίλμπερτ βάζει κάτω τα μαθηματικά του και προσπαθεί να αντιμετωπίσει λογικά το πρόβλημα. Έστω, λέει, ότι όλοι οι αναρχικοί έχουν πάρει δωμάτιο και είναι επομένως αριθμήσιμοι, όπως και τα άπειρα δωμάτια του ξενοδοχείου του.

Δωμάτιο ……………Κάτοχος ………………..Δεκαδικός
…..1……………………..Κ1…………………0,d11 d12 d13 d14….
…..2……………………..Κ2…………………0,d21 d22 d23 d24 …
…..3……………………..Κ3…………………0,d31 d32 d33 d34….
…..1……………………..Κ4…………………0,d41 d42 d43 d44….
…………………………………………………………………….

Όπου το γράμματα d11, d12, d13, d14,… παριστάνουν τα δεκαδικά κατά σειρά ψηφία του πρώτου αριθμούμενου αναρχικού. Ας μην ξεχνάμε ότι όλοι οι αναρχικοί αντιπροσωπεύουν δεκαδικούς αριθμούς μεταξύ του 0 και του 1. Παρόμοια τα γράμματα d21,d22,d23,d24,… αντιπροσωπεύουν κατά σειρά το πρώτο, δεύτερο, τρίτο, τέταρτο δεκαδικό ψηφίο του δεύτερου κατά σειρά αριθμούμενου αναρχικού Κ2. Αντίστοιχα στο σύμβολο dκλ ο πρώτος δείκτης κ αντιπροσωπεύει την τάξη του αντίστοιχου αναρχικού σε αυτή την απαρίθμηση και ο δεύτερος δείκτης λ, το λ κατά σειρά δεκαδικό ψηφίο στον δεκαδικό αριθμό που τον αντιπροσωπεύει.

Δηλαδή το dκλ είναι απλά ένα αριθμός του συνόλου {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} όπου ο πρώτος δείκτης κ δείχνει σε ποιον κατά σειρά αναρχικό αναφέρεται και ο δείκτης λ έναν από αυτά τα δέκα δυνατά ψηφία..

Ο Χίλμπερτ σκέφτεται και ορίζει ένα άλλο δεκαδικό ψηφίο d1 ως εξής:

d1= d11 +1 αν d11 διάφορο του 9
d1 = 0 αν d11 = 9

π.χ. αν d11 = 5, τότε d1 = 6 και αν d11=9, τότε d1 = 0

Ορίζει ανάλογα ένα δεκαδικό ψηφίο d2 ως εξής:

d2 = d22 +1 αν d22 διάφορο του 9
d2 = 0 αν d22 = 9

π.χ. αν d22 =0, τότε d2 = 1, αν d22 = 8 τότε d2 =9 και αν d22 = 9 τότε d2 = 0

Γενικά ο Χίλμπερτ ορίζει:

dn = dnn +1 αν dnn διάφορο του 9
dn = 0 αν dnn = 9

Με βάση αυτά τα δεκαδικά ψηφία που όρισε ο Χίλμπερτ κατασκευάζει τώρα τον δεκαδικό αριθμό:

X = 0, d1 d2 d3 d4…

Ο δεκαδικός αυτός αριθμός, είναι μικρότερος του 1 κι επομένως αντιπροσωπεύει σίγουρα κάποιον αναρχικό. Από τον τρόπο όμως που κατασκευάστηκε διαφέρει από όλους τους αναρχικούς κατά ένα τουλάχιστον ψηφίο, το dnn (διαγώνια στοιχεία στον αντίστοιχο πίνακα των δεκαδικών ψηφίων των αναρχικών) κι επομένως αυτός δε θα είναι ίσος με κανένα από αυτούς! Ο Χίλμπερτ όμως είχε υποθέσει ότι όλοι οι αναρχικοί είχαν χωρέσει με κάποιο τρόπο στα άπειρα δωμάτια του ξενοδοχείου του και τους είχε απαριθμήσει έναν-ένα σε καθένα από αυτά. Και όμως ο αναρχικός Χ δεν είναι κανένας από αυτούς που γέμισαν μέχρι τίγκα το άπειρο ξενοδοχείο του Χίλμπερτ. Επομένως περισσεύει και δεν μπορεί να δοθεί δωμάτιο σε αυτόν ότι και να κάνει ο Χίλμπερτ. Και μάλιστα αυτός ο αναρχικός Χ είναι απλά ενδεικτικός. Στην πραγματικότητα υπάρχουν άπειροι τέτοιοι αναρχικοί που δεν μπορούν να χωρέσουν στο άπειρο ξενοδοχείο του Χίλμπερτ! Το άπειρο του Χίλμπερτ είναι λοιπόν ένα μικρότερο άπειρο από τον αριθμό των αναρχικών ή αλλιώς των δεκαδικών αριθμών ανάμεσα στο 0 και στο 1!

Ο Χίλμπερτ είναι απαρηγόρητος: Το ξενοδοχείο του είναι μικρό! Μπορεί κάποιος ανταγωνιστής του να κατασκευάσει ένα άλλο μεγαλύτερο από το δικό του που να χωράει όλους τους αναρχικούς. Κάτι πρέπει να κάνει με αυτό και γρήγορα μάλιστα, πριν τον προλάβει άλλος.

Ο Χίλμπερτ γνωρίζει έναν μεγάλο μάγο, ο οποίος και τον βοηθά να κτίσει μέσα σε ένα μικρό χρονικό διάστημα ένα τέτοιο ξενοδοχείο που να μπορεί να χωρέσει όλους τους αναρχικούς.

Για αρκετά καιρό ο Χίλμπερτ δουλεύει με το νέο αυτό ξενοδοχείο και ικανοποιεί τους πάντες, αν και παραδόξως, παρόλο που κερδίζει πολλά περισσότερα χρήματα από αυτά που κέρδιζε προηγουμένως με το μικρότερο ξενοδοχείο του, αυτά ποτέ δε μεγαλώνουν όσο και να τα προσθέτει! Παραμένουν πάντα το ίδιο άπειρα!

Δυστυχώς όμως για τον Χίλμπερτ παρουσιάζεται ξαφνικά μια μέρα από το πουθενά μια ομάδα άπειρων Παναθηναϊκών που είναι ίσοι με το δυναμοσύνολο των αναρχικών, δηλαδή ίσοι με το πλήθος όλων των υποσυνόλων τους. Ο Χίλμπερτ βρίσκεται πάλι σε μεγάλο πρόβλημα: Δεν τους χωράει με τίποτα το ξενοδοχείο του! Αυτοί είναι πολλοί περισσότεροι από τους αναρχικούς. Το γεμίζουν στην πλάκα και παραμένουν πάλι άπειροι εκτός αυτού.

Πάλι ο Χίλμπερτ καταφεύγει στο μάγο και φτιάχνει ένα καινούργιο, μεγαλύτερο ξενοδοχείο, που να χωράει όλους τους παναθηναϊκούς και προσωρινά πάλι ανακουφίζεται. Όχι όμως για πολύ. Παρουσιάζεται κάποια στιγμή μια ομάδα Ολυμπιακών ίση με το δυναμοσύνολο των Παναθηναϊκών που δεν μπορεί να τους χωρέσει το ξενοδοχείο του….

Ο Χίλμπερτ αυτή τη στιγμή καταλαβαίνει που πάει το πράγμα… Άδικος ο κόπος να κατασκευάζει συνεχώς μεγαλύτερα άπειρα ξενοδοχεία… Τα άπειρα είναι και αυτά άπειρα στο πλήθος χωρίς τελειωμό και όπως για κάθε δοθέντα φυσικό αριθμό υπάρχει πάντα ένας μεγαλύτερός του, έτσι και για κάθε δοθέντα άπειρο υπάρχει πάντα ένα άπειρο μεγαλύτερό του! Ποτέ ο Χίλμπερτ δε θα αποκτήσει το τέλειο ξενοδοχείο απείρων δωματίων που να μπορεί να εξυπηρετήσει όλα αυτά τα άπειρα..

Ο Χίλμπερτ υποχωρεί με βαθιά κατανόηση. Κατανοεί τις εγγενείς αδυναμίες του να αντιμετωπίσει τις άπειρες απειρότητες και αποφασίζει να απαρνηθεί το χιμαιρικό αυτό ταξίδι των μεγαλύτερων απείρων και να επιστρέψει συνειδητά στο χώρο των πεπερασμένων ποσοτήτων όπου μπορεί να εξυπηρετήσει πεπερασμένους μόνον στο πλήθος πελάτες, χωρίς τα παλιά προβλήματα και τα άγχη του και με πεπερασμένα μεν κέρδη, αλλά τα οποία συνεχώς θα αυξάνουν, σε αντίθεση με τα άπειρα κέρδη του που παρέμεναν πάντοτε τα ίδια….

external image demopicture_763838_20120928161839.jpg external image Hilbert%2527s+Hotel.JPG



ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ ΠΑΝΩ ΣΤΟ ΦΑΙΝΟΜΕΝΟ ΤΟΥ ΞΕΝΟΔΟΧΕΙΟΥ ΤΟΥ ΧΙΛΜΠΕΡΤ

Μετά από μελέτη του φαινομένου του ξενοδοχείου του Χίλμπερτ φτάσαμε στα παρακάτω συμπεράσματα. Αρχικά καταλήξαμε στο ότι υπάρχουν δύο τουλάχιστον διαφορετικά άπειρα. Αυτά είναι :
  • Το άπειρο των φυσικών αριθμών και των αριθμήσιμων απειροσυνόλων και

  • το άπειρο των πραγματικών αριθμών ή άπειρο του συνεχούς.

Για να μπορέσουμε να μελετήσουμε τις ιδιότητες των απειροσυνόλων αποδίδουμε ένα πληθάριθμο και στο σύνολο των φυσικών αριθμών,το οποίο συμβολίζουμε με το γράμμα be4c703ed73456618ed283b892c6715a.pngτο οποίο διαβάζουμε σαν "άλεφ ζέρο". 'Αλεφ είναι το πρώτο γράμμα της Εβραϊκής αλφαβήτου και αντιστοιχεί στο δικό μας Άλφα.Το χρησιμοποίησε για πρώτη φορά ο Cantor στη θεωρία του για τα σύνολα.



και έχει έναν άγνωστο πληθικό αριθμό, διαφορετικό από το be4c703ed73456618ed283b892c6715a.png .

Τα σύνολα που έχουν τον ίδιο πληθικό αριθμό ονομάζονται ισοδύναμα.

Διακρίνουμε λοιπόν δύο είδη απειροσυνόλων:

  • Τα αριθμήσιμα που είναι ισοδύναμα με το Ν (σε μια αντιστοιχία 1-1) και

  • τα μη αριθμήσιμα σύνολα S τα οποία δεν είναι ισοδύναμα με το Ν, δηλαδή ο πληθάριθμος τους είναι διαφορετικός από τον πληθάριθμο του Ν.


external image infinity.jpeg

  • Το σύνολο των αρτίων αριθμών, το σύνολα των περιττών αριθμών, το σύνολο των πολλαπλασίων ενός αριθμού m, το σύνολο Ζ των ακέραιων αριθμών και το σύνολο Q+ των θετικών ρητών αριθμών, είναι όλα ισοδύναμα με το σύνολο Ν των φυσικών αριθμών, τα σύνολα δηλαδή αυτά έχουν τον ίδιο πληθάριθμο με αυτόν άρα ανήκουν στα αριθμήσιμα απειροσύνολα.

  • Το σύνολο (0,1) όλων των πραγματικών αριθμών μεταξύ του 0 και του 1 δεν είναι αριθμήσιμο!

Άρα, στην πραγματικότητα, δεν υπάρχει ένα και μόνον άπειρο, όπως μέχρι τώρα υποθέταμε, αλλά

τουλάχιστον δύο άπειρα, με το δεύτερο «μεγαλύτερο» ή ευρύτερο του πρώτου. Αυτό μας βάζει αμέσως στο νου ότι ίσως να υπάρχουν και άλλα άπειρα.

Συμπερασματικά, μπορούμε έτσι να δώσουμε ένα πιο τεχνικό ορισμό ενός άπειρου συνόλου:

¨Ένα σύνολο Α είναι άπειρο αν και μόνον αν είναι ισοδύναμο με ένα κατάλληλο υποσύνολό του.¨
Με άλλα λόγια το άπειρο είναι κάτι που είναι ίσο με μερικά από τα μέρη του!