ΑΝΑΞΙΜAΝΔΡΟΣ



image001 AL.png






Ο ΑΝΑΞΙΜΑΝΔΡΟΣ ήταν από τη Μίλητο (610 π. Χ. - 546 π. Χ) δεν ήταν μόνο φιλόσοφος, αλλά αστρονόμος, μετεωρολόγος, γεωγράφος και βιολόγος. Επινόησε το πρώτο ηλιακό ημερολόγιο και σχεδίασε τον πρώτο χάρτη της έως τότε γνωστής γης. Επίσης έφτιαξε και μία ουράνια σφαίρα. Η εικόνα του κόσμου για τον Αναξίμανδρο είναι βασισμένη σε μαθηματικές έννοιες.

Εξήγησε την δημιουργία του κόσμου εκκινώντας από το άπειρο, το οποίο θεωρούσε την πρωταρχική υλική ουσία. Ήταν ο πρώτος φιλόσοφος που εισήγαγε τον όρο "αρχή" και πρέσβευε ότι το άπειρον δεν έχει αρχή, αλλά είναι η αρχή των πάντων είναι " αθάνατον και ανόλεθρον ", "περιέχει δε άπαντα και πάντα κυβερνά".
Το άπειρο δε σήμαινε μόνο το απείρως μεγάλο, αλλά επίσης το τελείως άτακτο, το πολύπλοκο, αυτό που δεν προσδιορίζεται με τρόπο πεπερασμένο.
Από το άπειρο αποσπώνται οι αντίθετες ύλες « ψυχρόν » και « θερμόν » και από την ανάμιξή τους το νερό. Από το νερό προκύπτει η γη, ο αέρας και η φωτιά.
Πυθαγόρειοι Φιλόσοφοι

Οι Πυθαγόρειοι φιλόσοφοι είναι μια φιλοσοφική, θρησκευτική και πολιτική σχολή που ιδρύθηκε τον 6ο αιώνα π.Χ από τον Πυθαγόρα τον Σάμιο στον Κρότωνα της Κάτω Ιταλίας.

Οι Πυθαγόρειοι ασχολήθηκαν με το άπειρο ωστόσο σε ένα θεωρητικό επίπεδο, καθώς θεωρούσαν ότι τα πάντα αντιστοιχούν σε ένα αριθμό και ότι το άπειρο δημιουργήθηκε από το ένα "1" μετά την διαίρεση του. Το άπειρο εισβάλει στο αδιαφοροποίητο "είναι", και το διασπά δημιουργώντας τη δυάδα. Ο κόσμος κυριολεκτικά δημιουργείται από το δίπολο «πέρας- άπειρο». Αρχικά υπήρχε το δίπολο. Το "είναι" ήταν αδιαφοροποίητο , ενιαίο πεπερασμένο για τους Πυθαγορείους ταυτόσημο με τον αριθμό ένα. Το μη είναι ήταν ισχυρότατα συνδεδεμένο με το κενό. Το πεπερασμένο αδιαφοροποίητο ον περιορίζεται από το κενό που επεκτείνεται επ’ άπειρον. Αυτό το άπειρο εισβάλει στην αρχή της πυθαγόρειας κοσμογονίας και διασπά το πεπερασμένο "είναι" παρεμβαλλόμενο
ανάμεσα στα δύο του κομμάτια. Δημιουργείται από τη μονάδα η δυάδα, από αυτήν η τριάδα κ.τ.λ. με τρόπο ώστε το πυθαγόρειο σύμπαν να αποτελεί ένα αντίγραφο αυτού που σήμερα θα λέγαμε σύνολο φυσικών αριθμών.

Οι Πυθαγόρειοι ταυτίζουν το άρτιο με το άπειρο και το περιττό με το πεπερασμένο. Αυτό συμβαίνει διότι το περιττό αποτελεί σύνολο με αρχή μέση και τέλος ενώ ο άρτιος είναι διαιρετός επ’ άπειρον.Παρατίθεται ο Πυθαγόρειος πίνακας των δέκα αντιθετικών αρχών . Σύμφωνα με τον Αριστοτέλη, μία πυθαγόρεια δοξασία ήταν ότι ο κόσμος στηριζόταν σε δέκα αρχές. Αυτές τις αρχές τις συστοιχούσαν και τις εμφάνιζαν με τη μορφή εννοιολογικών διπόλων,ώστε τα μέρη των διπόλων, τα οποία άνηκαν στην ίδια συστοιχία, να αποτελούν μία απόλυτα συγγενική κλάση.

Πέρας - Άπειρον Περιττό - Άρτιο Ένα - Πολλά Δεξιό - Αριστερό Αρσενικό - Θηλυκό
Ήρεμο - Κινούμενο Ευθύ - Καμπύλο Φως - Σκοτάδι Καλό - Κακό Τετράγωνο - Ετερομήκες


dialogoi_html_32d08348.jpg


Αναξαγόρας
.jpg


Ο Αναξαγόρας ήταν σπουδαίος αρχαίος Έλληνας φιλόσοφος και αστρονόμος. Γεννήθηκε στις Κλαζομενές της Ιωνίας περί το 500 π.Χ.Μετέφερε τη φιλοσοφία από την Ιωνία στην Αθήνα, όπου και εγκαταστάθηκε σε ηλικία 20 ετών, για να γίνει οικείος και φίλος του Περικλέους, του οποίου έγινε και δάσκαλος.Προσπάθησε να ανανεώσει την ιωνική φυσιολογία και να τη συνδυάσει με τις πνευματικές κατακτήσεις του Παρμενίδη και του Εμπεδοκλή.

Σύμφωνα λοιπόν με τον Αναξαγόρα η ύλη δεν αποτελείται από ένα ή από μερικά στοιχεία (σπέρματα), αλλά από άπειρα σπέρματα που κανένα απ' αυτά δεν εξαφανίζεται, παρά μόνο με διαφορετικούς συνδυασμούς και που αποτελούν κάθε φορά και ένα καινούριο αντικείμενο. Οι κύριες ιδιότητές τους δε μένουν πάντα αναλλοίωτες. Η ποσότητά τους μένει πάντα ίδια.
Επίσης πίστευε ότι τα αστέρια, η σελήνη, ο ήλιος είναι αποτέλεσμα του αποχωρισμού που έγινε από τη γη (κατά τη δυνατή περιστροφική κίνηση) μεγάλων μαζών
Στα μαθηματικά ήταν ο πρώτος που εξέτασε το θέμα του τετραγωνισμού του κύκλου.

Μια καινούρια ιδέα που εισήγαγε στην κοσμογονία ο Αναξαγόρας είναι ότι η κίνηση της ύλης δεν υπήρχε πάντοτε και πως τα στοιχεία της από μόνα τους είναι ανίκανα να τη βάζουν σε κίνηση. Αυτή τη δυνατότητα την έχει μόνο ο νους, μια ουσία που διαφέρει από τις άλλες. Η ουσία αυτή είναι διάχυτη στο σύμπαν και ομοιογενής, ανεξάρτητη και ελεύθερη, είναι η πηγή κάθε ζωής. Ο νους είναι ο γνώστης των πάντων, αιώνιος και παντοδύναμος.


Ζήνων ο Ελεάτης
Γιος του Τελευταγόρα και ο αγαπημένος μαθητής του Παρμενίδη. Ο Ζήνων γεννήθηκε γύρω στο 488 π.Χ στην Ελέα (σημερινή Velia) της Ιταλίας. Έζησε μερικά χρόνια στην Αθήνα.
Η ενασχόληση με το άπειρο κάνει την πρώτη καταγραφή της πίσω τουλάχιστον από το διάσημο παράδοξο του Ζήνωνα τον πέμπτο αιώνα π.X. Το παράδοξο διατύπωνε τη θεωρία ότι ο χρόνος και ο χώρος μπορούν να διαιρεθούν άπειρες φορές, καθώς και ότι αποτελούνται από άπειρα αδιαίρετα άτομα.

Στο παράδειγμα με τον Αχιλλέα και τον αγώνα δρόμου με την χελώνα, ο πιο γρήγορος δρομέας δεν μπορεί ποτέ να ξεπεράσει τον πιο αργό. Αυτό συμβαίνει γιατί αυτός που υπολείπεται πρέπει πρώτα να φτάσει στο σημείο από το οποίο ο άλλος ξεκίνησε, όποτε ο αργός τη στιγμή αυτή θα έχει προχωρήσει, άρα πάντα θα προηγείται. Καθώς αυτή η διαδικασία συνεχίζεται για άπειρα βήματα, φαίνεται ότι ο δρομέας δεν θα τελειώσει την διαδρομή καθώς δε θα μπορέσει να καλύψει άπειρο αριθμό σημείων σε μια πεπερασμένη χρονική διάρκεια.

Ωστόσο ο Ζήνωνας δεν κατάφερε να προκαλέσει την προσοχή στα προβλήματα που αφορούσαν τις απείρως μικρές και απείρως μεγάλες ποσότητες. Ο Αριστοτέλης ήταν ανάμεσα σε αυτούς που αρνήθηκαν τον ισχυρισμό του Ζήνωνα σχετικά με την κίνηση.

achilles11.jpg


Αριστοτέλης

aristotle.jpg

Ο Αριστοτέλης ( 384 - 322 π.Χ. ) ήταν αρχαίος Έλληνας φιλόσοφος. Μαζί με το δάσκαλό του Πλάτωνα αποτελεί σημαντική μορφή της φιλοσοφικής σκέψης του αρχαίου κόσμου, και η διδασκαλία του διαπερνούσε βαθύτατα τη δυτική φιλοσοφική και επιστημονική σκέψη μέχρι και την Επιστημονική Επανάσταση του 17ου αιώνα. Υπήρξε φυσιοδίφης, φιλόσοφος, δημιουργός της λογικής και ο σημαντικότερος από τους διαλεκτικούς της αρχαιότητας.

Ο Αριστοτέλης αντιλήφθηκε ότι υπάρχουν πολλά χαρακτηριστικά του κόσμου που υποστηρίζουν την ύπαρξη του απείρου έτσι επινόησε την ένοια του δυνάμει απείρου και το αντιδιαστέλλει προς την έννοια του ενέργεια απείρου.

Μπορούμε κατά τον Αριστοτέλη να έχουμε ένα άπειρο σύμπαν χωρίς ποτέ να αδράξουμε ένα άπειρο αντικείμενο. Το άπειρο ενός τέτοιου σύμπαντος είναι δυνητικό Για την ακρίβεια , ο Αριστοτέλης υποστήριξε ότι ο χώρος του σύμπαντος μας είναι σφραγισμένος και πεπερασμένος και έχει τη μορφή μιας τεράστια σφαίρας . Αντιμετωπίζοντας το ερώτημα " τι βρίσκεται έξω από την σφαίρα αυτή?" , υποστήριξε ότι αυτό που περιορίζεται, δεν περιορίζεται σε σχέση με κάτι που το περιβάλει .


Ευκλείδης

Ο Ευκλείδης από την Αλεξάνδρεια (~ 325 π.Χ. - 265 π.Χ.), ήταν Έλληνας μαθηματικός, που δίδαξε και πέθανε στην Αλεξάνδρεια της Αιγύπτου, περίπου κατά την διάρκεια της βασιλείας του Πτολεμαίου Α΄ (323 π.Χ. - 283 π.Χ.). Στις μέρες μας είναι γνωστός ως ο «πατέρας» της Γεωμετρίας.

Ο ίδιος ο Ευκλείδης απέφευγε τον όρο άπειρο, γιατί αποτελούσε μια πολύ αφηρημένη έννοια και γεννούσε περαιτέρω ερωτήματα πάνω σε αυτό. Γι' αυτό το λόγο δεν χρησιμοποιούσε το άπειρο στα θεωρήματα και συμπεράσματα του.

Το τελευταίο από τα πέντε αιτήματα του Ευκλείδη ήταν το περίφημο αίτημα των παραλλήλων, σύμφωνα με το οποίο από κάθε σημείο εκτός μιας ευθείας μπορεί να διέρχεται μόνο μια ευθεία παράλληλη προς την αρχική. Βέβαια, ως κι ο ίδιος ο Ευκλείδης είχε επιφυλάξεις για το συγκεκριμένο αίτημα το οποίο διέφερε εμφανώς από τα άλλα λόγω της λανθάνουσας αναφοράς του στο άπειρο. Ας δούμε όμως γιατί το αίτημα των παραλλήλων παραπέμπει στο άπειρο: δύο ευθείες είναι παράλληλες αν και μόνο αν δεν τέμνονται πουθενά, όμως σε μια πεπερασμένη περιοχή του χώρου, μπορούμε να χαράξουμε περισσότερες από μια ευθείες που να διέρχονται από ένα σημείο και να είναι παράλληλες προς την ευθεία (δηλαδή να μην την τέμνουν). Συνεπώς, το αίτημα των παραλλήλων αναφέρεται εμμέσως στο άπειρο και οι μαθηματικοί έχουν κάθε λόγο να είναι επιφυλακτικοί όσον αφορά τη διαίσθησή τους για το άπειρο.

Πρέπει να σημειωθεί ότι το Ευκλείδειο αίτημα ή κάποιο ισοδύναμο του καθορίζει τη φύση ολόκληρης της Γεωμετρίας και αποτελεί βάση για τα περισσότερα θεωρήματα της Ευκλείδειας γεωμετρίας.

Επίσης γνωστό είναι το θεώρημα των απείρων πρώτων αριθμών από τον Ευκλείδη.


113.jpg




Εύδοξος
image003 AL.png


Γεννήθηκε στην Κνίδο της νοτιοδυτικής Μικρά Ασίας περίπου στο 408 π.Χ. και πέθανε εκεί το 355 π.Χ. Πατέρας του ήταν ο Αισχίνης, ο οποίος δεν είχε περιουσία, κι έτσι ο Εύδοξος μεγάλωσε μέσα στη φτώχεια. Καταγόταν από οικογένεια ιατρών και σπούδασε μαθηματικά και ιατρική στην φημισμένη Σχολή της Κνίδου.
Μεγάλος μαθηματικός, αστρονόμος, γεωγράφος, μηχανικός και γιατρός

Στα μαθηματικά: Έλυσε το Δήλιο πρόβλημα, με άγνωστη σε εμάς λύση.

Έγραψε το 5ο βιβλίο των Στοιχείων του Ευκλείδη, στο οποίο αναπτύσσεται μία γενική θεωρία αναλογιών, συμμέτρων και ασυμμέτρων μεγεθών.
Με τη μέθοδο της εξάντλησης που εφάρμοσε για τον υπολογισμό εμβαδών και όγκων ο Εύδοξος έδειξε ότι δεν είναι ανάγκη να υποθέσουμε την «ύπαρξη» απείρως μικρών ποσοτήτων. Αλλά για τους σκοπούς των μαθηματικών να μπορεί να φτάσει κάποιος σε ένα μέγεθος όσο μικρό θέλει, με συνεχιζόμενη διαίρεση ενός δοθέντος μεγέθους.
Απόδειξε, με την μέθοδο του Ιπποκράτη, το θεώρημα του όγκου του Κώνου, το οποίο είχε διατυπώσει παλαιότερα ο Δημόκριτος.


Αρχιμήδης
image005AL.png

Ο Αρχιμήδης (287π.Χ.-212π.Χ.) ήταν ένας από τους μεγαλύτερους μαθηματικούς , φυσικούς και μηχανικούς της αρχαιότητας. Γεννήθηκε, έζησε και πέθανε στις Συρακούσες. Η σημαντικότερη προσφορά του είναι η πρόβλεψη της ιδέας των αδιαιρέτων ποσοτήτων, η οποία καλλιεργήθηκε τον 14 αιώνα και στη συνέχεια αναπτύχθηκε περισσότερο τον 17 αιώνα, δίνοντας ένα ισχυρό κίνητρο για την ανάπτυξη της Ανάλυσης. Ασχολήθηκε με την έννοια των απειροστών, χρησιμοποιώντας την αποδεικτική μέθοδο της εξάντλησης, απέφευγε όμως να χρησιμοποιήσει «επίσημα» την έννοια του απείρως μεγάλου και του απειροστού. Επίσης και η έννοια του ορίου όπως σήμερα τη γνωρίζουμε δεν παρουσιάζεται στα έργα του Αρχιμήδη. Όμως τα προβλήματα που έλυσε, οι μέθοδοι που χρησιμοποίησε και ο τρόπος που προσέγγιζε τις άπειρες διαδικασίες, υπήρξαν τα βασικά στηρίγματα για τη σύλληψη και ανάπτυξη των εννοιών αυτών και αποτέλεσαν τον ακρογωνιαίο λίθο του Ολοκληρωτικού Λογισμού.


Galileo Galilei,

galilaios2.jpg
Γεννήθηκε στην Πίζα της Ιταλίας στις 15 Φεβρουαρίου 1564 και από νωρίς έδειξε σημεία μιας αξιοσημείωτης ιδιοφυΐας. Επιβάλλοντας μεγάλες στερήσεις στον εαυτό του και τα άλλα παιδιά του, ο πατέρας του μπόρεσε να στείλει τον Γαλιλαίο στο σχολείο και αργότερα στο Πανεπιστήμιο της Πίζας, όπου ο Γαλιλαίος γράφτηκε στην Ιατρική Σχολή. Ένας οικογενειακός φίλος φρόντισε να βρει ο Γαλιλαίος δουλειά κάνοντας διαλέξεις περί Φυσικής στο Πανεπιστήμιο της Πάδοβα και αργότερα, ως επίσημος μαθηματικός στον Μεγάλο Δούκα της Τοσκάνης.
Κανένα πεδίο γνώσεως δεν ήταν για τον Γαλιλαίο απρόσφορο για έρευνα, κανείς νόμος ή ανόητη προκατάληψη δεν είχαν τόση δύναμη ώστε να τον εμποδίσουν από την εργασία του. Αντιμετώπισε έναν κόσμο που έμενε προσηλωμένος στην άγνοια και απέδειξε ότι το θάρρος είναι μια αρετή χρήσιμη όχι μόνο στα πεδία των μαχών.
Ο Γαλιλαίος συνέβαλλε σημαντικά στην επιστημονική επανάσταση του 17ου αιώνα. Ανάμεσα σε άλλα, βελτίωσε το τηλεσκόπιο και με αυτό ανακάλυψε τους τέσσερις δορυφόρους του Δία, τις ηλιακές κηλίδες και κατέγραψε πρώτος τις κινήσεις τους, εφηύρε τους νόμους του εκκρεμούς που χρησιμοποιήθηκαν στα ρολόγια, διατύπωσε το νόμο της πτώσεως των σωμάτων (που αποδεικνύει ότι η βαρύτητα επιδράστην ταχύτητα των σωμάτων όταν υψώνονται ή πέφτουν), εφηύρε το θερμόμετρο και τον αναλογικό διαβήτη (που ακόμη χρησιμοποιείται στα γεωμετρικά σχέδια), και υποστήριξε τις θεωρίες του Κοπέρνικου για το Ηλιακό σύστημα.
Η θεωρία του ηλιακού συστήματος υποστήριξε ότι η Γη και οι άλλοι πλανήτες, στρέφονται γύρω από τον Ήλιο. Η κοινή αντίληψη της εποχής ήταν ότι ο Ήλιος, η Σελήνη και τα άστρα γύριζαν γύρω από τη Γη, η οποία έμενε ακίνητη.Επειδή ο Γαλιλαίος τόλμησε να αντιταχθεί στην παραδεδεγμένη διδασκαλία, δημιούργησε πολλούς εχθρούς, και τον θεώρησαν αιρετικό. Η σύγκρουσή του με τη Ρωμαιοκαθολική Εκκλησία αναφέρεται πολλές φορές ως παράδειγμα σύγκρουσης της εξουσίας με την ελευθερία της σκέψης και ειδικά με την επιστήμη στην Δυτική κοινωνία. Την ποινή φυλάκισης του Γαλιλαίου μετέτρεψε σε κατ' οίκον περιορισμό ο Πάπας Ουρβανός Η΄, ενώ τρεις από τους δέκα καρδιναλίους δικαστές αρνήθηκαν να υπογράψουν την καταδίκη του.
Πέθανε στις 8 Ιανουαρίου 1962.Ο τάφος του μεγάλου επιστήμονα βρίσκεται στον Καθεδρικό Ναό του Σάντα Κρότσε (του Τιμίου Σταυρού) της Φλωρεντίας. Ανά τους αιώνες, χιλιάδες κόσμου έχουν επισκεφτεί το μέρος. Ο Πάπας αποκατέστησε τη μνήμη του Γαλιλαίου στις 31 Οκτωβρίου 1992, 300 χρόνια μετά το διωγμό του.
Το 1638 σε μια από τις πιο σημαντικές του εργασίες χρησιμοποίησε τα απειροστά και τα αδιαίρετα. Για τον Γαλιλαίο τα αδιαίρετα ήταν απλά μη ποσότητες δεν είχαν τις ιδιότητες των μετρήσιμων μεγεθών, «είναι πάρα πολύ μικρά που ξεπερνούν την φαντασία μας» ενώ το άπειρο το θεωρούσε ακατανόητο από τον δικό μας πεπερασμένο νου. «Προσπαθούμε να εξετάσουμε το άπειρο με τον δικό μας πεπερασμένο νου αποδίδοντας σε αυτό ιδιότητες που δίνουμε στο πεπερασμένο και το ορισμένο. Αυτό είναι λάθος γιατί δεν μπορούμε να μιλάμε για τα άπειρα μεγέθη σαν να ήταν το ένα μεγαλύτερο ή μικρότερο από το άλλο ή ίσο».
Είναι γνωστό και το παράδοξο του Γαλιλαίου. Ο Γαλιλαίος δεν αρνείται την ύπαρξη των άπειρων αριθμών απλά δεν μπορούν να εφαρμοστούν σε αυτούς έννοιες όπως μεγαλύτερο, μικρότερο ή ίσο χωρίς τροποποιήσεις και αυτές τις τροποποιήσεις κατόρθωσε 200 χρόνια αργότερα ο Cantor.



Johannes Kepler


image001kam.jpg




Ο Γερμανός μαθηματικός, αστρονόμος και αστρολόγος Γιόχαν Κέπλερ (Johannes Kepler) γεννήθηκε στις 27 Δεκεμβρίου του 1571. Από πολύ μικρή ηλικία έδειξε μεγάλο ενδιαφέρον για τα ουράνια φαινόμενα και την παρατήρησή τους. Σπούδασε μαθηματικά στο πανεπιστήμιο του Τίμπινγκεν και μετά την αποφοίτησή του το 1591 παρακολούθησε μαθήματα θεολογίας. Πριν δώσει, όμως, τις τελικές εξετάσεις, του προτάθηκε να διδάξει μαθηματικά στο Γκρατς της Αυστρίας, θέση την οποία και αποδέχτηκε.
Στην πρώτη του εργασία για τον υπολογισμό των εμβαδών καμπυλόγραμμων χωρίων, όπως το παράδειγμα του υπολογισμού του εμβαδού του κύκλου, εγκαταλείποντας (ως ένα βαθμό την Αρχιμήδεια θεωρία) έκανε χρήση των εννοιών των απείρως μεγάλων και των απειροστών ποσοτήτων. Με την χρήση « πολύ λεπτών» δίσκων και πολύ λεπτών τριγώνων έκανε να φανεί η διαφορά ανάμεσα στην «μέθοδο των απειροστών» όπως αυτή τελικά ονομάστηκε και στην διαδικασία που χρησιμοποίησε ο Galileo, την οποία ονόμασε «μέθοδο των αδιαίρετων». Σύμφωνα με την μέθοδο των απειροστών του Kepler, ένα γεωμετρικό σχήμα ή σώμα αντίστοιχα (γεωμετρικό αντικείμενο όπως το αποκαλούσε), αποτελούνταν από αντικείμενα μιας μικρότερης διάστασης, έτσι όπως και ο Αρχιμήδης θεώρησε τα επίπεδα σχήματα αποτελούμενα από γραμμές και τα σώματα αντίστοιχα από επιφάνειες.



Gottfried Wilhelm von Leibniz


1208515016_7723_gottfried_leibniz.jpg



Ο Gottfried Wilhelm von Leibniz γεννήθηκε στις 21 Ιουνίου 1646 (1646-1716)στη Λειψία. Ήταν σε μεγάλο βαθμό αυτοδίδακτος διαβάζοντας στη περιεκτική βιβλιοθήκη του πατέρα του και μελετώντας τα Ελληνικά και τα Λατινικά. Ανέπτυξε τις αρχές μιας μαθηματικής νοηματικής γλώσσας εξετάζοντας λογικά προβλήματα.
O Leibniz (1646-1716)ανέπτυξε κανόνες και ερμηνευτικούς συμβολισμούς έχοντας σαν στόχο να βάλει της απειροστές θεωρήσεις κάτω από μια αλγοριθμική διαδικασία. Για τον Leibniz τα μαθηματικά ήταν η επιστήμη των ποσοτήτων, άποψη η οποία δεν θα μπορούσε να συμβιβαστεί με της προτάσεις για μη-ποσότητες του Γαλιλαίο .Αντίθετα ο Leibniz ερμήνευσε τις άπειρα μικρές ποσότητες ως ποσότητες που είναι μικρότερες από οποιαδήποτε δοσμένη, αλλά μεγαλύτερες από το μηδέν ενώ τις άπειρα μεγάλες ποσότητες μεγαλύτερες από οποιαδήποτε δοσμένη. Σύμφωνα με τον Leibniz και τα δύο είδη ποσοτήτων αυτών θα πρέπει να είναι μεταβλητές ποσότητες. το αξιοπερίεργο είναι ότι παρόλο οι ποσότητες αυτές είναι δημιούργημα της φαντασίας, είναι αναμφισβήτητα υπαρκτές ποσότητες. Ο Leibniz δίνοντας σαφώς έμφαση στην αυστηρότητα και την ακρίβεια των μαθηματικών αποδείξεων, έθεσε τα απειροστά ή τις άπειρα μικρές ποσότητες σε μια ασφαλή πεπερασμένη βάση μέσα από την οποία μπορούσαν να χρησιμοποιηθούν οι ποσότητες αυτές.





Carl Friedricb Gauss


image004.jpg




Ο Γιόχαν Καρλ Φρίντριχ Γκάους (30 Απριλίου 1777– 23 Φεβρουαρίου 1855) ήταν Γερμανός μαθηματικός που συνεισέφερε σε πολλά ερευνητικά πεδία της επιστήμης του, όπως η θεωρία αριθμών, η στατιστική, η μαθηματική ανάλυση, η διαφορική γεωμετρία, αλλά και συναφών επιστημών, όπως η γεωδαισία, η αστρονομία και η φυσική (ηλεκτροστατική, οπτική, γεωμαγνητισμός). Αποκλήθηκε «ο πρίγκηψ των μαθηματικών» και ο «μεγαλύτερος μαθηματικός μετά τον Αρχιμήδη και τον Ευκλείδη».
Ο Gauss, αν και εναντιώθηκε έντονα, στη χρήση του πραγματικού απείρου στα μαθηματικά, το χρησιμοποίησε τελικά στις αριθμοθεωρητικές εργασίες του. Για πρώτη φορά στην ιστορία μελετήθηκαν συστηματικά από τον Gauss οι άπειρες σειρές (αθροίσματα άπειρων όρων) και μάλιστα εκείνες που συγκλίνουν, έναν τομέα με τον οποίο απέφυγαν να ασχοληθούν τόσο οι αρχαίοι Έλληνες (με εξαίρεση τον Ζήνωνα), όσο και οι περισσότεροι μαθηματικοί μέχρι την εποχή του Newton και του Leibniz). Ανακάλυψε, και μάλιστα σε ηλικία δεκαπέντε ετών, ότι το πλήθος π(ν) των πρώτων αριθμών που είναι μικρότεροι ή ίσοι ενός φυσικού αριθμού ν είναι κατά προσέγγιση ίσο με v/lnv. Η πιο ακριβής διατύπωση είναι το περίφημο θεώρημα των πρώτων αριθμών:
image005.gif




Bernhard Placidus Johann Nepomuk Bolzano

image006kam.jpg

Ο Bernhard Placidus Johann Nepomuk Bolzano (5 Οκτωβρίου 1781 - 18 Δεκεμβρίου 1848), ήταν ένας Βοημίας μαθηματικός, δάσκαλος της λογικής, φιλόσοφος, θεολόγος, καθολικός ιερέας και αντιμιλιταριστής της γερμανικής μητρικής γλώσσας.
O Bolzano εισήλθε στο Πανεπιστήμια της Πράγας το 1796 και σπούδασε μαθηματικά, φιλοσοφία και φυσική. Ξεκινώντας το 1800, ο ίδιος άρχισε να σπουδάζει θεολογία, να γίνει καθολικός ιερέας το 1804. Έχει αποδειχθεί ότι ήταν ένας δημοφιλής λέκτορας όχι μόνο στη θρησκεία, αλλά και στη φιλοσοφία, και εξελέγη επικεφαλής του τμήματος φιλοσοφίας το 1818. Μετά την άρνησή του να αποκηρύξει τις πεποιθήσεις του απολύθηκε από το πανεπιστήμιο το 1819.Ήταν εξόριστος στην ύπαιθρο και σε εκείνο το σημείο αφιέρωσε τις ενέργειές του για τα γραπτά του σχετικά με τα κοινωνική, θρησκευτικά, φιλοσοφικά και μαθηματικά θέματα. Το 1842 επέστρεψε στην Πράγα, όπου και πέθανε το 1848.
Ο Bolzano έδωσε τον ορισμό της συνεχούς συνάρτησης και για πρώτη φορά έγινε σαφές ότι η έννοια της συνέχειας προϋποθέτει γνώση της έννοιας του ορίου. Δεν αποδέχτηκε την ύπαρξη των άπειρα μεγάλων και των άπειρα μικρών ποσοτήτων. Παρόλα αυτά ασπάστηκε την άποψη του Galileo για την πιθανότητα ύπαρξης ενός ενεργού απείρου.

Georg Cantor

220px-Georg_Cantor3.jpg

Ο Γκέοργκ Καντόρ γεννήθηκε στις 3 Μαρτίου 1845 στην Αγία Πετρούπολη της Ρωσίας. Ήταν ο μεγαλύτερος από έξι παιδιά. Όταν ο πατέρας του αρρώστησε το 1856, η οικογένειά του μετακόμισε στη Γερμανία, πρώτα στo Βιζμπάντεν, έπειτα στην Φρανκφούρτη. Το 1862, ο Καντόρ αποφοίτησε από το ETH Ζυρίχης, ενώ αργότερα στο Πανεπιστήμιο του Βερολίνου. Ο Γκέοργκ Καντόρ έλαβε έδρα καθηγητή στο Πανεπιστήμιο του Χάλε. Το 1874, ο Καντόρ παντρεύτηκε την Βάλλυ Γκούτμαν. Απέκτησαν μαζί 6 παιδιά. Εκείνη την εποχή, ο Καντόρ ανέπτυξε τη Θεωρία Συνόλων. Το 1884, ο Καντόρ εισήχθη σε νοσοκομείο ύστερα από μια περίοδο κατάθλιψης. Ο Καντόρ αποσύρθηκε από την εκπαίδευση το 1913, ενώ πέθανε το 1918 ύστερα από μια περίοδο μεγάλης φτώχειας, σε ηλικία 72 ετών.
Ο Cantor ήταν ο πρώτος που εισήγαγε στα μαθηματικά με αυστηρό τρόπο την θεωρία συνόλων, καθώς και τους υπερπεπερασμένους αριθμούς. Το μεγαλύτερό του επίτευγμα ήταν η μέθοδος σύγκρισης απειροσυνόλων, σύμφωνα με την οποία ένα σύνολο είναι ισοδύναμο με ένα άλλο όταν τα στοιχεία τους θέτονται σε αμφιμονοσήμαντη αντιστοιχία(1-1 και επί).Δηλαδή αν ένα σύνολο Α δεν έχει λιγότερα στοιχεία από ένα σύνολο Β και το Β δεν έχει λιγότερα στοιχεία από το Α τότε τα δύο σύνολα έχουν το ίδιο πλήθος στοιχείων. ¨Όσο απλή και αν ακούγεται αυτή η πρόταση ο Cantor δεν μπόρεσε να την αποδείξει. Το κατάφερε ένας μαθητής του το 1897. Με την μέθοδο της διαγωνιοποίησης κατάφερε να αποδείξει πως το σύνολο των φυσικών αριθμών είναι ισοδύναμο με το σύνολο των ρητών. Σε ένα γράμμα του προς τον Detekind απέδειξε πως το άπειρο πλήθος των σημείων ενός ευθυγράμμου τμήματος είναι ισοδύναμο με το σύνολο των σημείων μιας ευθείας. Παρ΄ όλα αυτά όμως ο Cantor ήταν φανατικός αρνητη΄ς της υπόστασης των απειροστών ως αριθμών.



David Hilbert


xilbert.jpg


Ο Δαβίδ Χίλμπερτ (David Hilbert) (Καινιξβέργη (Πρωσία), 23 Ιανουαρίου 1862 - Γκέτινγκεν (Γερμανία) 14 Φεβρουαρίου 1943) ήταν Γερμανός μαθηματικός, που από αρκετούς θεωρείται ο πιο σημαντικός του 19ου και 20ου αιώνα. Η πιο γνωστή εργασία του περιλαμβάνει τα Αξιώματα Χίλμπερτ για τη γεωμετρία καθώς και την περιγραφή των χώρων Χίλμπερτ με εφαρμογές στην Κβαντομηχανική και τη Θεωρία της Σχετικότητας.
OΧίλμπερτ αποδέχτηκε το άπειρο. Στην περίφημη διάλεξή του “UberdasUnendliche” το 1926 αναφέρει χαρακτηριστικά: «Χάρις τον Cantor το άπειρο ανήλθε στον θρόνο του και απήλαυσε τον απόλυτο θρίαμβο του. Κατά την τολμηρή του πτήση, το άπειρο έφτασε σε ιλιγγιώδη ύψη επιτυχίας… Κανείς δεν θα μπορέσει να μας διώξει από τον παράδεισο που δημιούργησε για μας ο Cantor.» Παρ’ όλα αυτά όμως προσπάθησε να οριοθετήσει το άπειρο.«Το δικαίωμα να εργαζόμαστε με το άπειρο μπορεί να εξασφαλιστεί μόνο μέσα από το πεπερασμένο» αναφέρει.