home

“ Όπου υπάρχει ομορφιά
υπάρχουν Μαθηματικά ;”
Τα Μαθηματικά και η Τέχνη γενικότερα, φαινομενικά, αποτελούν δύο ξεχωριστά – διακριτά πεδία της ανθρώπινης δραστηριότητας, εντούτοις είναι δυνατόν να συνδυαστούν και να δώσουν δημιουργίες οι οποίες αποτελούν αξιοθαύμαστο μείγμα εντυπωσιακής πολυπλοκότητας και εκπληκτικής ομορφιάς.
Τα Μαθηματικά έπαιζαν και παίζουν πάντα σημαντικό ρόλο στην εξέλιξη των διάφορων μορφών της τέχνης. Σ΄ όλες τις εποχές αναδείχθηκαν εξέχουσες μορφές της τέχνης, οι οποίες χρησιμοποίησαν τα μαθηματικά ως το βασικό συστατικό της τέχνης. Δεν υπάρχουν όρια σχετικά με τις ιδέες της μαθηματικής τέχνης. Κάποια θέματα τα οποία έχουν χρησιμοποιηθεί περισσότερο και έχουν κερδίσει την προτίμηση ορισμένων καλλιτεχνών είναι τα πολύεδρα, τα ψηφιδωτά, τα ανέφικτα σχήματα, οι ταινίες Mobious και τα fractals.
040.JPG
Στο projectμας θα αναλύσουμε διάφορα θέματα που αναφέρονται στο θέμα Τέχνη και Μαθηματικά.
Ειδικότερα, στο Α΄ Τετράμηνο θα ασχοληθούμε με τον M.C. Escher, τον πιο φημισμένο γραφίστα του κόσμου. Εμπνεύστηκε από τα άψυχα γεωμετρικά σχήματα των Μαυριτανών, στα οποία προσπάθησε να δώσει ζωή επεκτείνοντάς τα ως «το άπειρο» . Κάποιοι μαθητές του projectθα τολμήσουν να σχεδιάσουν έναν πίνακα του Escherπου αποτελεί χαρακτηριστικό παράδειγμα συμμετρίας και απείρου.
Θα εξετάσουμε τα είδη της συμμετρίας και τα έργα τέχνης που αυτή δημιουργεί: στη ζωγραφική με αντιπροσωπευτικά έργα του Dali, του LeonardoDaVinci, του Raphael, του Κασίνσκυ και του Escher, στις αγιογραφίες και στα ιερά άμφια, στα βιτρό που κοσμούν τους ναούς και τα κτίρια, στην αρχιτεκτονική, στην Ισλαμική Τέχνη. Πηγαίνοντας πίσω στον 6ο αι. π.χ. θα μελετήσουμε τη θεωρία του Αναξίμανδρου για το άπειρο, το οποίο θεωρούσε πρωταρχική ύλη ουσίας. Θα συνεχίσουμε τη διαδρομή μας με τους Πυθαγόρειους Φιλόσοφους , τον Αναξαγόρα, τον Αριστοτέλη, τον Kepler, τον CarlGauss.
Tέλος, θα αναλύσουμε το πλέον χαρακτηριστικό παράδειγμα για τη θεωρία του απείρου που είναι «το ξενοδοχείο του Χίλμπερτ» και θα βγάλουμε τα συμπεράσματά μας.
Στο Β΄ Τετράμηνο θα ασχοληθούμε με την Χρυσή Τομή, δηλαδή την ακολουθία Fibonacci, τον αριθμό φ και πώς αυτός χρησιμοποιείται στην Οδοντιατρική, στη Βιολογία, στην Αρχιτεκτονική, στη Ζωγραφική, στο Χρηματιστήριο, στη Γεωμετρία (χρυσό τρίγωνο και χρυσό ορθογώνιο). Θα προσπαθήσουμε με δικές μας μετρήσεις να ανακαλύψουμε τον αριθμό φ στο σώμα μας.
Θα προσπαθήσουμε να βρούμε πώς συνυπάρχουν τα Μαθηματικά με τη Λογοτεχνία, εξετάζοντας το έργο του λογοτέχνη Τεύκρου Μιχαηλίδη, ο οποίος είναι μαθηματικός, συγγραφέας, μεταφραστής . Έχει συνδυάσει τα Μαθηματικά με τη Λογοτεχνία και αντιστρόφως και έχει καταφέρει την αρμονική συνύπαρξη και των δύο.
Πώς επηρεάζουν τα Μαθηματικά τη Μουσική; Θα μελετήσουμε το πιο αντιπροσωπευτικό ίσως παράδειγμα μουσικού του 20 αι. που οι μουσικές του συνθέσεις επηρεάστηκαν τόσο πολύ από τα μαθηματικά. Αυτό του Ιάννη Ξενάκη. Ο οποίος υπήρξε ένας από τους σημαντικότερους Έλληνες συνθέτες και αρχιτέκτονες του 20ου αι. Οι πρωτοποριακές συνθετικές μέθοδοι που ανέπτυξε συσχέτιζαν τη μουσική και την αρχιτεκτονική με τα μαθηματικά μέσω της χρήσης μοντέλων από τη θεωρία των συνόλων, των πιθανοτήτων, τη Χρυσή Τομή, την ακολουθία Φιμπονάτσι κλπ. Πολλοί είναι εκείνοι που τον ονομάζουν «νεοπυθαγόρειο». Κατασκευάσαμε το δικό μας μονόχορδο για να ανακαλύψουμε και εμείς όπως και ο Πυθαγόρας χιλιάδες χρόνια την σχέση μεταξύ των ρητών αριθμών και της μουσικής αρμονίας.
Το συμπέρασμα μας; Μπορεί τα μαθηματικά να είναι μια «αυστηρή» επιστήμη με κανόνες και άψυχα σύμβολα αλλά όταν τα επιτεύγματα τους εφαρμόζονται στην ζωή μας παράγουν ομορφιά.

​​ΕΙΣΟΔΟΣ
ΤΑ ΜΕΛΗ
Το άπειρο των φυσικών αριθμών και των αριθμήσιμωναπειροσυνόλων και το άπειρο των πραγματικών αριθμών ή άπειρο του συνεχούς. Πριν προχωρήσουμε όμως μας χρειάζεται η έννοια του
συνόλου.
Απλά σα σύνολο ονομάζουμε μια συλλογή αντικειμένων που έχουν όλα μια κοινή ιδιότητα.Τα αντικείμενα αυτά,πάντα διαφορετικά μεταξύ τους, αποτελούν ταστοιχεία του συνόλο
χρωμάτων,το σύνολο όλων των γαλαξιών κ.ο.κ.
Τα σύνολα διακρίνονται σε διακριτά σύνολα και σε συνεχή σύνολα.Το σύνολο π.χ. των φυσικών αριθμών Ν είναι ένα διακριτό σύστημα, διότι ανάμεσα σε δύο διαδοχικούς φυσικούς αριθμούς δεν υπάρχει κανένας άλλος φυσικός αριθμός. π.χ. μεταξύ του 2 και του 3 δεν υπάρχει άλλος φυσικός αριθμός. Αντίθετα το σύνολο των πραγματικών αριθμών R είναι ένα συνεχές σύνολο, διότι μεταξύ δύο οποιωνδήποτε πραγματικών αριθμών υπάρχουν πάντα και άλλοι πραγματικοί αριθμοί (τουλάχιστον ένας).Παρόμοια συνεχές είναι και κάθε σύνολο ή διάστημα της μορφής(α,β) με α και β πραγματικούς αριθμούς, το οποίο παριστάνει όλους τους πραγματικούς αριθμούς μεταξύ του α και β, αλλά όχι τους ίδιους τους α και β.
Γενικότερα κάθε συνεχές σύνολο είναι ένα απειροσύνολο, αλλά υπάρχουν και διακριτά σύνολα, όπως το σύνολο Ν των φυσικών αριθμών, που μπορεί να είναι απειροσύνολα.Το πλήθος των στοιχείων ενός συνόλου το ονομάζουμεπληθικόαριθμό ή πληθάριθμο αυτού του συνόλου π.χ. ο πληθάριθμος του συνόλου Α={1,2,3} είναι 3. Γράφουμε τότε : card (A) =3 (από το cardinality = πληθάριθμος).

Για να μπορέσουμε να μελετήσουμε τις ιδιότητες των απειροσυνόλων αποδίδουμε ένα πληθάριθμο και στο σύνολο των φυσικών αριθμών,το οποίο συμβολίζουμε με το γράμμα
http://htmlimg3.scribdassets.com/8wt6oqrxfkg9k7q/images/32-e03a20fdba.jpg
http://htmlimg3.scribdassets.com/8wt6oqrxfkg9k7q/images/32-e03a20fdba.jpg
, το οποίο διαβάζουμε σαν

«άλεφ ζήρο». Άλεφ είναι το πρώτο γράμμα της Εβραϊκής αλφαβήτου και αντιστοιχεί στο δικό μας Άλφα. Το χρησιμοποίησε για πρώτη φορά ο Cantor στη θεωρία του των συνόλων. Ώστε:
Card (N) =
http://htmlimg3.scribdassets.com/8wt6oqrxfkg9k7q/images/32-e03a20fdba.jpg
http://htmlimg3.scribdassets.com/8wt6oqrxfkg9k7q/images/32-e03a20fdba.jpg

Είμαστε τώρα έτοιμοι να ξεκινήσουμε τη βασική αναζήτησή μας πάνω στο άπειρο, αφού παρουσιάσουμε προηγουένως το βασικό αξίωμα πάνω στο οποίο θα στηριχτούμε για την απόδειξη των θεωρημάτων μας. Ένα απειροσύνολο θα λέγεται αριθμήσιμο όταν υπάρχει μια αμφιμονοσήμαντηαντοστοιχία ή αντιστοιχία 1-1 (ένα προς ένα) των στοιχείων του με τα στοιχεία του συνόλου Ν των φυσικών αριθμών. Όταν δηλαδή μπορούμε να αντιστοιχήσουμε με κάποιο τρόπο τα στοιχεία του ένα προς ένα με τους φυσικούς αριθμούς, χωρίς να περισσέψει κανένα στοιχείο από τη μία ή την άλλη μεριά. Αν αυτό δεν μπορεί να συμβεί, τότε το απε
και έχει έναν άγνωστο πληθικό αριθμό, διαφορετικό από το
http://htmlimg3.scribdassets.com/8wt6oqrxfkg9k7q/images/32-e03a20fdba.jpg
http://htmlimg3.scribdassets.com/8wt6oqrxfkg9k7q/images/32-e03a20fdba.jpg
.

Αντίστοιχα για να βρούμε τον πληθικό αριθμό ενός πεπερασμένου συνόλου, αντιστοιχούμε τα στοιχεία τους ένα προς ένα με τους διαδοχικούς φυσικούς αριθμούς. Ο φυσικός αριθμός που θα αντιστοιχεί τότε στο τελευταίο στοιχείο του συνόλου θα είναι και ο πληθάριθμος αυτού του συνόλου π.χ. έστω το σύνολο Δ= {κ,λ,ν,ο,ι,τ,ε}και οι φυσικοί αριθμοί 1,2,3,4,5,6,7,8,9,....Αντιστοιχίζουμε το πρώτο στοιχείο κ του συνόλου Δ με τον αριθμό 1,το δεύτερο στοιχείο λ με τον αριθμό 2 κ.ο.κ. και το τελευταίοστοιχείο του ε με τον αριθμό 7. επομένως Card (D) =7.Τα σύνολα που έχουν τον ίδιο πληθικό αριθμό ονομάζονται ισοδύναμα.
Διακρίνουμε λοιπόν δύο είδη απειροσυνόλων:


Τα αριθμήσιμαπου είναι ισοδύναμα με το Ν (σε μια αντιστοιχία 1-1) και Τα μη αριθμήσιμα
σύνολα S για τα οποία Card (S) διάφορο του Card (N), τα οποία δεν είναι ισοδύναμα με το Ν, δηλαδή ο πληθάριθμός τους είναι διαφορετικός από τον πληθάριθμο του Ν. Προσοχή δυο άπειρα σύνολα δεν είναι αναγκαστικά μεταξύ τους ισοδύναμα. Είναι μόνον όταν μπορεί να οριστεί μια αντιστοιχία ένα προς ένα μεταξύ των στοιχείων τους.
ΘΕΩΡΗΜΑ 1
Το σύνολο των αρτίων αριθμών, το σύνολα των περιττών αριθμών και το σύνολο των πολλαπλασίων ενός αριθμού m είναι όλα ισοδύναμα με το σύνολο Ν των φυσικών αριθμών, τα σύνολα δηλαδή αυτά τον ίδιο πληθάριθμο με αυτόν.Για παράδειγμα μπορούμε εύκολα να ορίσουμε την παρακάτω αντιστοιχία 1-1 μεταξύ του συνόλου των φυσικών αριθμών και του συνόλου των αρτίων αριθμών Και ανάλογα αντί των αρτίων αριθμών
2, 4, 6, 8, 10…. 2n …
Μπορούμε να βάλλουμε στη θέση τους περιττούς αριθμούς :
1, 3, 5, 7, 9,…. ….2n-1
ή τα πολλαπλάσια . του 3:
3, 6, 9, 12, 15,…..3n…
Ή τα πολλαπλάσια οποιοδήποτε φυσικού αριθμού k :
K, 2k, 3k 4k, 5k,…kn…
Ή τα τετράγωνα των φυσικών αριθμών:
Σύμφωνα με το αξίωμα του Cantor, όλα αυτά τα σύνολα είναι ισοδύναμα, έχουν δηλαδή τον ίδιο πληθάριθμο ή αλλιώς τον ίδιο αριθμό στοιχείων !Αυτό μπορεί να μας φανεί πολύ παράξενο, πώς είναι δηλαδή δυνατόν το σύνολο των φυσικών αριθμών Ν που περιλαμβάνει, εκτός από τους άρτιους αριθμούς, και τους περιττούς αριθμούς, να έχει το ίδιο ακριβώς πλήθος στοιχείων με το σύνολο μόνο των άρτιων αριθμών ή μόνο των περιττών αριθμών. Πώς είναι δυνατόν ένα γνήσιο υποσύνολο ενός συνόλου να έχει το ίδιο πλήθος στοιχείων με αυτό. Αυτό όμως είναι ακριβώς το παράδοξο των απέιρων συνόλων:
Μπορούμε να απομακρύνουμε κάποια στοιχεία τους και αυτά να συνεχίσουν να έχουν το ίδιο ακριβώς πλήθος στοιχείων με προηγουμένως!
Με άλλα λόγια
το άπειρο είναι κάτι που είναι ίσο με μερικά από τα μέρη του!
Μπορούμε έτσι να δώσουμε ένα πιο τεχνικό ορισμό ενός άπειρου συνόλου:
Ένα σύνολο Α είναι άπειρο αν και μόνον αν είναι ισοδύναμομε ένα κατάλληλο υποσύνολό του.
ΘΕΩΡΗΜΑ 2
Το σύνολο Ζ των ακεραίων αριθμών είναι ένα αριθμήσιμο σύνολο.
Το σύνολοΖ των ακεραίων αριθμών έχει το ίδιο πλήθος στοιχείων (πληθάριθμο) με το σύνολο Ν των φυσικών αριθμών:
Card (Z) = Card( N)




ΘΕΩΡΗΜΑ 3
Το σύνολο Q+ των θετικών ρητών αριθμών είναι ένα αριθμήσιμο σύνολο.
Αντίστοιχα αποδεικνύεται ότι ολόκληρο το σύνολο Q των ρητών αριθμών είναι αριθμήσιμο


ΘΕΩΡΗΜΑΤο σύνολο (0,1) όλων των πραγματικών αριθμών μεταξΆρα, στην πραγματικότητα, δεν υπάρχει ένα και μόνον άπτουλάχιστον δύο άπειρα, με το δεύτερο «μεγαλύτερο» ή ευρύτερο του πρώτου. Αυτό μας βάζει αμέσως στο νου ότι ίσως να υπάρχουν και άλλα άπειρα .ΕΙΣΟΔΟΣ